【知识要点】
1.列方程解应用题的步骤是：①弄清题意，用x表示未知数；②找出题中数量间的相等关系，列出方程；③解方程；④检验，写出答案。其中最关键的是第二步。
2.解应用题时，用算术方法解与用方程解是两种不同的思路。用算术方法解应用题时；①未知数不参加列式；②要根据题中已知数和未知数之间的关系；确定解答步骤，再列式计算。用方程解应用题时：①未知数用字母表示，要参加列式；②是根据题意找出数量间的相等关系，列出含有未知数x的等式。
3.用算术方法解与用方程解应用题这两种方法本身无简、繁之分，解应用题时，除题中指定解题方法外，要根据题目中数量关系的特点，灵活地选择解题方法

【知识要点】
学习本小节的知识时，要重点掌握以下三点：
1.掌握一般应用题的解题步骤：①弄清题意，找出已知条件和问题；②分析题目里数量间的关系，确定解答的顺序；③确定每一步的计算方法，列式计算；④进行检验，写出答案。其中第二步是核心，只有抓住了各数量间的关系，才能由已知顺藤摸瓜地找到未知或从问题一环扣一环地推向已知。
2.要掌握“归一”、“归总”问题应用题的结构模式。要理解“归一”应用题中的单一的量 始终不变；“归总”应用题中的总量始终不变。
3.解答相遇问题应用题时，要认真分析：①两个物体运动的时间怎样，是同时出发还是一先一后；②运动的地点在哪里，是两地还是同一地点；③运动的方向怎样，是相向还是相背而行；④运动的结果怎样，是相遇了还是相距一段距离
应用题类型 解题方法 注释
工程问题 工作总量÷工作效率=工作时间 分数百分数应用题—先把工作总量看作“1”，再把工作效率转化成1时间 的形式，然后根据工作总量、工作效率、工作时间三者之间的数量关系列式计算。
行程问题 路程÷时间=速度 相遇问题：相遇时间=路程÷速度和
速度和=路程÷相遇时间
路程=速度×相遇时间
追及问题：追及时间=路程÷速度差
路程=速度差×追及时间
速度差=路程÷追及时间
归一问题： 单一量=总数量÷份数
总数量=（正归一）=单一量×份数
份数=（逆归一）=总数量÷单一量

求一个数是另一个数的几分之几或百分之几。 比较量÷标准量=（百）分率 首先确定标准量“1”（100%），然后根据分数与除法的关系，把标准量看作用除法算式中的除数。
求一个数的几分之几或者百分之几是多少。 （已知） （未知）
标准量÷（百）分率=比较量

对 应 首先确定标准量“1”，在分析比较量（要求的）相当“1”的（百）几分之几，然后根据一个数乘以分数的意义列式计算。
已知一个数的几分之几或者百分之几是多少，求这个数。 （未知） （已知）
标准量×（百）分率=比较量

对 应
（已知） （未知）
比较量×（百）分率=标准量

对 应 首先确定标准量“1”，在分析比较量（已知的）相当于“1”的（百）几分之几，然后根据一个数乘以分数的意义，找出数量间的相等关系，列方程解答；也可以根据除法的意义，用算术方法解答。
1、分数乘法：
（1）分数乘整数：用分数的分子乘整数的积作分子，分母不变。（能约分的要先约分）
（2）分数乘分数：用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。（能约分的要先约分）
（3）分数乘整数：表示求一个书的几分之几是多少。
分数乘分数：表示求一个分数的几分之几是多少。
2、分数除法：
（1）分数除以一个数：除以一个数就等于乘这个数的倒数，再按分数乘法的方法去做。
3、混合运算：
（1）只有同一级运算就从左到右算；
（2）如果含有两级运算就先算乘除再算加减；
（3）有括号的先算小括号再算中括号；
（4）能简便计算的要简便计算。
4、在解答方程时经常用到的加、减、乘、除法各部分之间的关系：
加法：加数+加数=和 减法：被减数—减数=差
一个加数=和—另一个加数 减数=被减数—差
被减数=差+减数
乘法：因数×因数=积 除法：被除数÷除数=商
一个因数=积÷另一个因数 除数=被除数÷商
被除数=商×除数
【比的有关知识】：
1、两个数相除又叫两个数的比。比也可以写成分数形式。
2、比的前项除以后项所得的商叫做比值。比值可以是分数、小数或整数。
3、和除法比较：比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商；
和分数比较：比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。
4、比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外）比值不变，这叫做比的基本性质。
例如： 3 ：4 =（3×2） ：（4×2）=6 ：8
12 ：14=（12÷2） ：（14÷2）=6 ：7
5、化简比时一定要化成最简单的整数比。

第二单元：分数除法
教学重点：
1、分数除法的意义。
2、分数除法的计算法则。
3、分数除法的应用题
教学难点：
1、分数除法的计算法则的推导过程。
2、分数除法的应用题。
第三单元：分数混合运算和应用题
教学要求：
1、使学生能够进行分数混合运算，在计算镇南关能够运用一些简便算法。
2、使学生能分析应用题中的数量关系，能用算术方法或列方程解答分数应用题（包括工程问题），进一步提高学生解答应用题的能力。
教学重点：
1、分数混合运算的计算方法。
2、分数应用题
教学难点：
1、灵活地选择比较简便的方法进行分数混合运算。
2、理解掌握分析应用题的数量关系和解答方法。
分数乘分数
1、分数与分数相乘前能约分的要先约分
2、强调约分格式
4.2.10工程问题应用题
教学目标 ：
1、理解比较抽象的工作总量、工作效率、工作时间的数量关系。
2、掌握一般工程问题的结构特征。
3、学会解题方法，会正确解答一般的工程问题。
教学重点：学会解题方法，会正确解答一般的工程问题。
教学难点 ：理解比较抽象的工作总量、工作效率、工作时间的数量关系。
教学准备：投影片。
教学过程 ：
一、复习准备：
1、口答，并说出数量关系式。
（1）甲乙合做60件产品，甲每天做3件，乙每天做2件。他们要几天完成？
60÷（3+2）=12天
工作总量÷工作效率=工作时间
（2）加工80个零件，甲用4小时完成。平均每小时加工多少个零件？
80÷4=20（个）
工作总量÷工作时间=工作效率
2、回答，说说你是怎么想的。
（1）加工一批零件，甲用4小时完成。平均每小时完成这批零件的几分之几？
1÷4=
（把工作总量看作“1”）
（2）一项工程，甲单独修建，需要4天完成，乙单独修建，需要8天完成。
①甲队独修，每天完成全工程的（ ）。
②乙队独修，每天完成全工程的（ ）。
③两队合修，每天完成全工程的（ ）。
小结：刚才这几道题中，工作总量所以用“1”表示，因为工作总量不再是一个具体的数量，而工作效率是一个分数，这个分数实质上是单位时间完成了工作总量的几分之几。
二、教学新课。
1、出示例2.（小黑板）
一项工程，由甲工程队单独施工，需8天完成。由乙工程队单独施工，需要12天完成。两队共同施工需要多少天完成？
（1）审题后，想：这道题需我们求什么？你可以根据哪个关系式来解答？
（2）学生尝试做，并同桌交流。
（3）反馈说明。
1÷（+）=1÷（+）=1÷=4（天）
（把工作总量看作“1”，两队的工作效率就是+。）
教师：如果不把工作总量看作“1”，而是看作2、3、5、10……结果会怎样？
学生任选一个数列式计算。
小结：计算结果是一样的。不过看作“1”是最简捷、最常用的。
2、练一练。
（1）填空。
①甲做一项工作需5天完成，每天完成这项工作的（ ），3天完成这项工作的（ ）。
②一项工程，甲队独做需要36天完成，乙队独做需要45天完成。两队合做，一天可以完成这项工程的（ ），（ ）天可以完成。
（2）修一条公路，甲队独做需10天，乙队独做需15天，甲乙两队合做，几天可以完成？
（全班练，抽学生写在投影片上，同桌互说是怎么想的）
3、小结：四人小组讨论。刚才练的题有什么特点？我们是怎么解的？
教师：这就是我们今天学的工程问题。（出示课题）
三、巩固练习
1、变式练习
打印一份稿件，甲单独干要10小时，乙单独干要12小时，丙单独干要15小时。
（1）甲、乙、丙三人合打1小时，完成这份稿件的几分之几？
++=
（2）三人合打一小时后，还剩下几分之几？
1-=
（3）甲、乙、丙三人合干，几小时可以完成？
1÷（++）=4（小时）
（4）甲、乙两人合干5小时，可以完成这份稿件的几分之几？
（+）×5=
1.练习。
(1)每小时做25个零件，5小时做多少个?
(2)每小时织18米布，x小时织多少米?
2.教学准备题。
提问:这样列式是怎样想的?
3.做"练一练"第1题。
要求学生说一说已知完成一项工作的时间,怎样表示工作效率。
4.引人新课。
工程问题应用题
让学生读题,
提问:想一想,这项工程是由哪几个队合做完成的?这里的工作总量就是哪几部分的和?(板书:甲队完成的工作量+乙队完成的工作量=工作总量)
在这个数量关系式中,工作总量是多少?板书:1。甲队工作量怎样得到?乙队呢?
这里工作天数知道吗?可以怎么办?
2.列方程解答。
如果设合做x天可以完成,甲队和乙队完成的工作量各可以怎样表示呢?
学生列方程解答。
追问： x和 x各表那什么?为什么?方程表示什么意思?
3.引导检验。
想一想,这道题怎样检验?
三、巩固练习
如果把问题改成"合修几天可以修完这条公路的 ?"这道题要怎样解答呢?
四、课堂小结
今天学习了什么内容?今天学习的工程问题按怎样的解题思路来解答?
一、对比练习
一段公路长30千米。甲队单独修，每天修3千米，乙队单独修，每天修2千米，两队合修几天可以完成？
一段公路长30千米。甲队单独修10天完成，乙队单独修15天完成。两队合修几天可以完成？
一段公路。甲队单独修10天完成，乙队单独修15天完成。两队合修几天可以完成？
二、拓展练习
1、一段布，上衣可以做100件，裤子可以做150条。那么这段布可以做几套衣服？
2、影剧院坐满了观众观看文艺演出，演出结束后要退场。已知影剧院有三个出口，所有观众如果只从东出口出，要20分钟才能走完，如果只从南出口出，15分钟可以走完，如果只从西出口出，也要20分钟才能走完。现在同时打开三个出口，几分钟就能走完？
3、打一份书稿，甲单独打要8小时，乙单独打要10小时。甲、乙合打要几小时完成？
4、打一份书稿，甲单独打要8小时，乙单独打要10小时。甲先打2小时，然后由乙打，还要几小时才能完成？
5、打一份书稿，甲单独打要1/2小时，乙单独打要2/3小时。甲、乙合打要几小时完成？
甲乙两人同时加工一批零件，甲单独做10小时可完成，乙每小时加工50个，两人合作完工时，乙做的零件占总数的40。问这批零件共多少个？

两种基本思路：解法一：分数应用题的解题思路（1－40）÷110=6（小时） 50×6÷40=750（个） 解法二：用比来解题的思路速度比：甲和乙的比是（1－40）：40=3：2 时间比：甲：乙=2：3 10÷2×3×50=750（个）解法如下： 解法三：工效和：50÷40=125（个）（125－50）×10=750（个 解法四： 50÷40=125（个）（1－40）÷110=6（小时） 125×6=750（个） 解法五：（1－40）÷110=6（小时） 50÷（40÷6）=750（个） 解法六： 40÷（1－40）=23 10÷23×50=750（个）课堂中
一支粉笔可以写300个字，写了4个字，已经用去了这支粉笔的几分之几？
（2）(出示一支钢笔)这支钢笔吸一次墨水，可以写8小时，已经写了3小时，用去了几分之几？还剩下几分之几？
（3）一批货物10天运完，1天运了这批货物的几分之几？3天呢？
（4）加工一批零件，每天完成1/5,几天可以完成？
例子说明，任何事物都可以看作单位“1”，不管是什么工程，也不管这项工程有多少工作量，我们都可以用单位“1”来表示。
1、、出示：车站运来一批货物，共有45吨，甲汽车用10小时可以运完，乙汽车用15小时可以运完，两辆车合运几小时运完？
2、 学生独立完成。交流：45/（45/10+45/15）
问：1 )辆车合运几小时运完必须先求出什么？（两辆车的工作效率之和）
2) 45/10与45/15分别求的是什么？加起来的和表示什么？
3）再用45除以它们的和，得到的又是什么？
4）根据什么数量关系来解答？
3、擦去例题中“共有45吨”这个条件。
1)问：没有了具体的工作量，这道题还能不能解答？（把这批货物看作单位“1”）
2)学生试做，交流：1/(1/10+1/15)=1/1/6=6(小时)
问：1/10、1/15表示什么意思？
两量车合运，每小时运这批货物的多少？
3、 比较：两种解法在思路上是一致的。数量关系也相同，只是后一种解法不用具体数量来计，而是用单位“1”表示工作量，用分数表示工作效率来计算，这是工程问题的问题。
（三） 分析工程问题的特点
1、工程问题没有具体的工作量，只有完成时间这一具体的量，工作量要用“1”来表示。
2、引导观察：1/(1/10+1/15) 1/(1/6+1/9)
得出：它们都是求1里面包含几个分数的和。只要符合这些条件的题目，都可用工程问题的解法解题。也就是说，工程问题不一定用工程的形式出现（在黑板上作一线段）这是一个整体，用“1”来表示，它可以代表一项工程，也可以代表一块地、一堆煤、一段路程等。告诉我们两台拖拉机耕地各要几小时，两辆车运货各需几小时，两辆车走完这段路程各行几小时，最后问合耕、合运，两辆车对开相遇所需的时间。像这类题应该用什么方法解？（和工程问题的解法相同）
3、 只列式，不计算：
（1） 一批布，做上装可以做20件，如果做裤子可做30条。这批布可以做几套衣服？
（2） 一堆沙子，用一辆卡车运，18小时可以运完，用一辆汽车运，6小时可以运完，用一辆卡车和一辆汽车运，几小时可以运完？
（3） 从甲站到乙站，快车要行6小时，慢车要行9小时，两车同时从两站对开，几小时相遇？
交流时说说算式中各数表示的意义。
4、问：在实际工作中，有时需要计算完成工程的一部分需要多少时间，又该怎样计算呢？
例题问题改为：两队合运这批货物的一半要几小时？学生列出算式。指名板演：1/(1/20+1/30)×1/2 1/2/(1/20+1/30)
比较：哪个算式计算简便？需要做多少工作量，可以直接写出来，不必先算出完成整个工程所需要的时间，再计算一部分所需要的时间。
反馈：把练一练的2改为：1)甲乙合修几天完成这段公路的5/6?
2)甲乙合修几天后还剩下这段公路的1/4?
学生独立完成，交流。
三、根据算式口头编题：
1/(1/8+1/10) 1/(1/8+1/10+1/12) 3/4/(1/8+1/10)
第一环节是复习铺垫。

由于用分数解工程问题与整数解工程问题的思路基本相同，仍然是工作总量除以工作效率等于工作时间，只是题目中没有给出具体的工作总量，解答时要把总量作为单位“1”，用单位时间完成工作总量的几分之一来表示工作效率。所以先口答：（１）如果这项工程计划１２天完成，平均每天修（　）。今天完成了工作的（　）还剩（　）。（２）如果这项工程每天完成 ，（ ）天完成。
第一步：加深对整数解工程问题的数量关系的理解。

出示：三毛小学要修200米的塑胶跑道，甲队独修要10天，乙队独修要8天，两队合修要几天可以完成？

，弄清题目中的数量关系。

第二步：探究用分数解工程问题。
重点和难点。改变题目（即把上题中的“200米”去掉）。想：没有这个条件，这道题能不能解答？想：可以把这条跑道看作单位“1”，那么甲队每天修这条跑道的几分之几？乙队每天修这条跑道的几分这几？两队合修，每天可修这条跑道的几分之几？两队合修几天可以完成怎样求？根据是什么？通过这些问题，联系学过的工程问题的数量关系，逐一解决每个问题，也就突破了这节课的难点。
第三步，比较分数解和整数解工程问题，加深印象。
比较上下两道题，这两种解法在思路上是一致的，数量关系基本相同，都是用工作总量除以工作效率的和。只是在后一种解法中没有给出工作总量的具体数量，只给出“一段公路”，“一项工程”，“一件工作”，“修一条路”等，解答时把工作总量看作单位“1”，用工作总量的几分之一来表示工作效率。
1.了解工程问题的结构特征及数量关系，学会解答比较简单的工程问题。
２.在主动参与、发现和揭示数学原理和方法中提高思维水平。
学校准备在明年暑假把操场上的跑道改造成塑胶跑道。
（１）如果这项工程计划１２天完成，平均每天修（　）。今天完成了工作的（　）还剩（　）。

（２）如果这项工程每天完成 　，（ 　）天完成。

如果我们能将修塑胶跑道这项工程进行招标。应聘单位有两个，他们都承诺能保质保量完成任务。但甲工程队单独完成需10天，乙工程队单独完成需8天。

　 问：（1）如果你是校长，你选择哪个施工队？为什么？
三毛小学要修200米的塑胶跑道，甲队独修要10天，乙队独修要8天，两队合修要几天可以完成。

讨论：200÷10与200÷8各表示什么？这两个商加起来又表示什么？再用200除以它们的和得到了什么？根据什么数量关系算出合作的时间？

（工作总量÷工作效率和=合作工作时间）

（3）那如果要修建的塑胶跑道是400米，800米又要多少天时间呢？独立做。

（4）讨论：三道题做完了，你有什么发现？猜猜如果跑道是1000米的话，用几天时间完成？跑道长度是a米呢？看来完成工程的天数跟工作重量没多大关系？那么到底为什么工作总量在变化，可完工的时间却一样？

例、三毛小学要修一条塑胶跑道，由甲工程队单独施工需10天；由乙工程队单独施工要8天完成。两队共同施工需要多少天完成？

（１）分析思考：A、工作总量不知道怎么办？
B、甲工程队的工作效率是多少？怎样想出来的？ 乙工程队呢？

1÷（ ＋ ）中。 、 各表示什么？ ＋ 又表示什么。
只给出“一段公路”，“一项工程”，“一件工作”，“修一条路”等，解答时把工作总量看作单位“1”，用工作总量的几分之一来表示工作效率。

（１）如果这项工程计划１２天完成，平均每天修（　）。今天完成了工作的（　）还剩（　）。

（２）如果这项工程每天完成 　，（ 　）天完成。

如果我们能将修塑胶跑道这项工程进行招标。应聘单位有两个，他们都承诺能保质保量完成任务。但甲工程队单独完成需10天，乙工程队单独完成需8天。

　 问：（1）如果你是校长，你选择哪个施工队？为什么？
（2）但新学期开学迫在眉睫，为了 同学们在新学期一开学就能在跑道上上体育课，如果你是校长，又该怎么办呢？

1、一项工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做8天完成。
（1）甲乙两队合作一天，共完成这项工程的几分之几？
（2）甲乙两队合作，经过多少天完成这项工程？
（3）甲乙两队合作3天后，还剩下这项工程的几分之几？
（4）甲乙两队合作3天后，余下的由甲队单独做，还要多少天完成？
口答列式：
1.修一条100米长的跑道，5天修完。平均每天修多少米？
2.一项工程，5天完成，平均每天完成几分之几？
3.修一条100米长的跑道，每天修25米，几天修完？
4.一项工程，每天完成1/8，几天可以完成全工程？
（1）：一段公路长30千米，甲队单独修10天完成，乙队单独修15天完成，两队合修几天可以完成？
（2）审题后,根据条件问题列成下表,分析解答,讲算理：
工作总量 甲独修完成时间 乙独修完成时间 两队合修完成时间
30天 10天 15天 0

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谢谢，太好了！

经验丰富才有如此总结。

詹老师请教一道数学题好吗？

在线的老师请帮忙解答道数学题好吗？

不好。。。。。。。。。。。。。。。。。。

打一份书稿，甲单独打需要４小时，乙单独打要５小时打完，甲.乙二人合打２小时后，剩下的由乙单独打完，还需几小时？

好！！不错···
太棒了！！